تعریف یعنی شناساندن چیزی بوسیلۀ یک توصیف. مثلاً “تک‌شاخ” بنا به تعریف یعنی “اسبی که یک شاخ روی سرِ خود دارد”. هر تعریف دستِ‌کم دو بخش دارد: یکی معرَّف (definiendum) (= آنچه قرار است تعریف شود، در مثال ما “تک‌شاخ”) و دیگری معرِّف (definiens) (= آنچه معرَّف را تعریف می‌کند، در مثال ما “اسبی که یک شاخ روی سرِ خود دارد”). اما تعریف کردنِ مفاهیم همیشه کار ساده‌ای نیست. فرض کنید می‌خواهیم “نیایِ ذکورِ مستقیم” را تعریف کنیم. خیلی ساده می‌شود گفت نیایِ ذکور مستقیم هرکس پدر او، پدر بزرگِ او، پدرِ پدر بزرگ او و هکذاست. این را این‌طور می‌توان نوشت که:
“x نیای ذکور مستقیم y است” بنا به تعریف یعنی “x پدر y است، یا x پدربزرگِ y است، یا x پدرِ پدر بزرگ y است و هکذا”
اما عبارت “و هکذا” با معیار‌های ریاضی‌دان‌ها و منطق‌دان‌ها عبارت روشنی نیست. این عبارت به ویژه به دردِ کسانی که برای کامپیوتر برنامه می‌نویسند نمی‌خورد. به این دلیل که کامپیوتر‌های دیجیتال نمی‌توانند فرمان “و هکذا” را اجرا کنند. این‌جور وقت‌ها باید از “تعریف بازگشتی” استفاده کرد. تعریف بازگشتی ، تعریفی است برای یک رده از اشیاء که می‌شود آنها را در یک زنجیره مرتب کرد. زنجیره‌ای که چه‌بسا پایانی نداشته باشد.
هر تعریف بازگشتی عموماً دارای دو قسمت است:
1- عبارت پایه (basis clause) که معرَّف (یا آنچه بناست تعریف شود) در این بخش نمی‌آید. و
2- گام استقرایی (inductive step) که معرَّف در این بخش می‌آید.
بگذارید با چند مثال مطلب را روشن کنم. فرض کنید می‌خواهیم “نیای ذکور مستقیم” را تعریف کنیم بی‌آنکه از عبارت “و هکذا” استفاده کنیم. تعریف بازگشتی این عبارت از این قرار است:
تعریف بازگشتیِ (1): “x نیای ذکور مستقیم y است” بنا به تعریف یعنی “x پدرِ y است، یا x پدرِ نیای ذکور مستقیم y است.”
“x پدرِ y است” عبارت پایه است و “x پدرِ نیای مستقیم y است” گام استقرایی است. برای روشن‌تر شدن بحث فرض کنید محمد پدر لیلا باشد و کوروش پدر محمد. محمد پدر لیلاست، پس، بنا به عبارت پایۀ تعریف بازگشتیِ (1)، محمد نیایِ ذکورِ مستقیم لیلاست. اما گام استقرایی تعریف بازگشتیِ (1) به ما می‌گوید کوروش نیز نیایِ ذکور مستقیم لیلاست. چراکه کوروش پدر نیای ذکور مستقیم لیلا، یعنی پدر محمد است. باز اگر اسماعیل پدر کوروش بود، طبقِ گام استقرایی بازگشتیِ (1)، اسماعیل هم نیای ذکور مستقیم لیلا بود و هکذا و هکذا.
دو نکتۀ اجمالی درباب تعریف بازگشتی:
الف- تعریف بازگشتی در ظاهر تعریفی دوری می‌نماید. تعریف دوری (circular) تعریفی است که سر‌و‌کلۀ معرَّف تعریف در معرِّفِ آن ظاهر شود. تعاریف دوری فایدۀ چندانی ندارند. چراکه به جای شناساندن مفهوم، ما را برمی‌گردانند سرِ جایِ اولِ‌مان. در تعاریف بازگشتی نیز انگار سر‌و‌کلۀ معرَّف (در مثال ما “نیای ذکور مستقیم”) در معرِّف (در گام استقرایی در تعریف بازگشتی (1)) پیدا می‌شود. اما حقیقت این است که تعاریف بازگشتی، دوری نیستند.
ب- واژۀ استقراء در “گام استقرایی”، استقراء منطقی (رسیدن از مشاهدات جزیی به گزارۀ کلّی) نیست. بلکه مراد استقراء ریاضی است. استقراء در ریاضیات با استقراء منطقی تفاوت دارد. در واقع استقراء ریاضی را با استنتاجِ منطقی ثابت می‌کنند. گاه به تعریف بازگشتی می‌گویند تعریف استقرایی، که در اینجا نیز مراد استقراء ریاضی است.
دو مثال دیگر برای تعریف بازگشتی مفاهیم:
تعریف بازگشتی مفهوم عدد (در مجموعه اعداد حسابی):
“x یک عدد است” بنا به تعریف یعنی “x صفر است یا x تالیِ یک عدد است.”
طبق این تعریف چهار یک عدد است چراکه تالیِ تالیِ تالیِ تالیِ صفر است.
تعریف بازگشتی شناخت تجربی:
“گزارۀ p به نحو تجربی شناخته می‌شود” بنا به تعریف یعنی “p با ادراک حسی مستقیم شناخته می‌شود یا p با استنتاج معتبر از مجموعه‌ای از گزاره‌ها شناخته می‌شود که دستِ‌کم یکی از آنها به نحو تجربی شناخته شده‌اند.”
در پایان باید گفت که تعریف بازگشتی در علوم کامپیوتر، ریاضیات و منطق کاربرد زیادی دارد. مثلاً معمولاً مفهوم فرمول (formula) در منطق به شیوۀ بازگشتی تعریف می‌شود یا در ریاضی مفهوم عدد اول را به این شیوه می‌شود تعریف کرد.
.
.
منابع:
1- Definitions, Dictionaries, and Meanings, Norman Swartz, Online
2- Introduction to Logic and its philosophy, Peter K. Schotch, Library and Archives Canada Cataloguing in Publication 2006, P. 15-16.
3- Technical Methods in Philosophy, John L. Pollock, Westview Press, 1990, P. 37-41
.
.
تعریف بازگشتی (recursive definition)
کاوه بهبهانی
.
.
احسنت. امید که به فهم ریاضیات در آموزش های ابتدایی و تکمیلی اهمیت بیشتری داده شود. مشخص است که یادگیری ریاضیات با فهم آن متفاوت است. من شاید بتوانم به راحتی از روابط ریاضی برای حل مسایل استفاده کنم ولی ممکن است فهم کاملی از آنها نداشته باشم. این دو متفاوت اند. به نظرم فهم ریاضیات، به فهم بسیاری از مسایل و موضوع های دیگر کمک می کند.